連続だけど絶対連続でない関数の例

区間 $[a, b]$ 上で定義された関数に関して、普通の連続性よりも強い連続性の概念に絶対連続性というのがある(cf. wikipedia)。 $f$ が絶対連続であるのは、関数 $g$ が存在して

$f(x) = \int_a^x g(u) \mathrm{d}u + f(a)$

が $[a,b]$ で成り立つのと同値らしい。この時、 $f$ はa.e.で微分出来て、 $g=f'$ になる。

で、なんでこんな概念があるかというと、至る所で連続で、殆ど至る所で微分可能であるにも関わらず、

$f(x) = \int_a^x f'(u) \mathrm{d}u + f(a)$

とならないような関数がいるから。カントール関数がその例。(cf. wikipedia)