位相空間のメモ 2

その1 の続き。

以下、距離空間 $X$ を全体空間として考える。

近傍

$A\subset X$ が $x\in X$ の近傍である、とは、

$x\in U, U\subset A$ なる開集合 $U$ が存在する

という条件を満たすこととして定義される。これは何を言ってるんだろうか。この定義も、内点・外点・境界点という概念に着目すると分かりやすいと思う。集合 $A$ と点 $x$ が与えられたとき、 $A$ と $x$ の関係は、

$x$ は $A$ の内点である

$x$ は $A$ の外点である

$x$ は $A$ の境界点である

のどれかである。「 $x$ は $A$ の外点である」の場合は、明らかに $A$ を $x$ の近傍と呼ぶのは無理である。重要なのは、「 $x$ は $A$ の境界点である」の場合も、 $A$ を $x$ の近傍と呼ぶのは相応しくないということだ。位相空間の議論において、 $A$ が $x$ の「近傍」である、と言ったならば、 $A$ は $x$ に「近い」点は全部含んでいて欲しいのである。あるいは、 $A$ は $x$ の「周り」を全部含んでいて欲しい。しかし、「 $x$ は $A$ の境界点である」の場合には、 $x$ の任意に近い場所に、 $A$ に含まれない元がある。従って、どんなに微視的に見ても、 $A$ は $x$ の「周り」を全部含んではいない。残ったのは、「 $x$ は $A$ の内点である」の場合だけだけど、この場合は、 $x$ の充分近い点は、全部 $A$ に含まれる。従って、この場合は $A$ は $x$ の近傍と呼ぶに相応しい。そして、「 $x$ は $A$ の内点である」と「 $x\in U, U\subset A$ なる開集合 $U$ が存在する」は同値である。